IEEE754 单精度浮点数

关于IEEE754 单精度浮点数的定义，转换与数值范围

§§ IEEE 754

IEEE754 将数字表示成形如

$$Z=(-1)^s \times M \times 2^E$$

的形式.

其中，

• 符号位s由一位二进制表示，1表示负数，0表示正数
• 有效数（尾数）M 由23位二进制表示
• 指数E由8位二进制移码表示

数据格式

31          22                           0
|________________________________________|
|s|   c    |          f                  |
------------------------------------------
   |      |
   30    23

尾数的正规化(规约形式):
IEEE754 规定位数应该化为 1.f 的形式, 第一位由于必定为1, 略去不计。

§§ 栗子-3125.97

符号位
负数符号位取1

二进制转换精确度
$log_210 = 3.322$ , 十进制转换2进制时小数应当记录7位。

正规化尾数
$3125.97_{(10)} = 110000110101.1111100_{(2)} = 1.100001101011111100_{(2)} \times 2^{11}$
最左侧的1省略不记，不足28位右侧补0, 那么 -3125.97 的规约形式尾数部分为
100 0011 0101 1111 1000 0000

指数：
11 转化为8位2进制移码。
$C = c + B = 11_{(10)} + 127_{(10)} = 138 = 1000 1010_{(2)}$

单精度浮点数表示

Z = 1100 0101 0100 0011 0101 1111 1000 0000

其中
s = 1
c = 1000 1010
f = 100 0011 0101 1111 1000 0000

§§ 表示值

Name	c	f	Z
规约形式	$0<c<2B+1$	f 任意	$Z=(-1)^s\cdot (1.f)\cdot 2^{c-B}$
非规约形式	$c=0$	f 任意	$Z=(-1)^s\cdot (0.f)\cdot 2^{1-B}$
无穷	$c=2B+1$	$f=0$	$Z=(-1)^s\cdot \infty$
不存在	$c=2B+1$	$f\ne 0$	$Z=NaN$

Notes:

• 8位移码表示的指数中，偏移B=127
• c = e+B , 其中c为二进制移码表示的指数，e为二进制原码表示的指数
• 后两种特殊情况中，c=2B+1 即c=255, 取全1
• 非规约形式是为了表示绝对值非常接近0的数，非规约形式由于实际指数固定，在其表示范围内精度保持不变。

§§ 范围

尾数及其表示的有效数
23位2进制尾数表示范围是 $[0, 2^{23}]$
规约尾数表示的的有效数范围是 $[1, 2-10^{-23}]$

指数

实际指数e	偏移指数c
[-126,127]	c = e+127
e = -126	c = 0

规约的实际指数范围:
[-126,127]

规约的偏移指数范围:
c = e + 127, 即 [1,254]

非规约的指数:
实际指数为 -126, 偏移指数记0

绝对值最大的归约数:
$\pm (2-2^{-23}) \times 2^{127}$

绝对值最小的规约数:
$\pm 2^{-126}$

绝对值最大的非规约数:
$\pm (1-2^{-23} \times 2^{-126})$

绝对值最小的非规约数:
$\pm 2^{-23} \times 2^{-126}$