Stellenwertsystemen, Konvertierungen und Genauigkeit
Positional notations, Conversation and Precision.
Notizen auf Vorlesung [RA]
# Stellenwertsystemen, Begriffe und Schreibweise
$B$ : Basis des Stellenwertsystems, oft auch Radix $r$ genannt
$Z=z_{n-1}…z_{1}z_{0},z_{-1}…z_{-m}$ :
- eine Zahl wird als Vektor von Ziffern dargestellt
- eine Komma markiert ggf. die Einer-Stelle
$z_i$ eine Ziffer, in konventionellen Stellenwertsystemen gilt: $z_i \in [0,B)$
Der Zahlenwert berechnet sich zu:
$Z = \sum_{i=-m}^{n-1}B^i\cdot z_i$
| Basis | Name | bsp. Form | ProgramSprache |
|---|---|---|---|
| 2 | Binär,Dual (Binary) | $1011,1101_2$ | |
| 8 | Oktal (octal) | &123_8& | 0123 |
| 10 | Dezimal (decimal) | $10,23_{10}$ | |
| 16 | Hexadezimal (hexadecimal) | $AFF_{16}$ | 0xAFF |
# Konvertierungen
# Dual, Oktal, Hexadezimal —> Dezimal
Konvertierung mit Zahlenwertberechnung
$Z = \sum_{i=-m}^{n-1}B^i\cdot z_i$
Bsp.
$AFF.1B_{16} = 10\cdot 16^2 + 15\cdot 16^1 + 15\cdot 16^0 + 1\cdot 16^{-1} + 11\cdot 16^{-2}$
$1001.0110_2 = 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3}=(8+1+0.25+0.125)_{10}$
# Dezimal —> Dual, Oktal, Hexadezimal
ganzzahliger Teil
teilen durch B, nehme den Rest als Ziffer, rechts nach links.
Bsp. 75(dez) zu Dual
75 % 2 = 37 Rest 1
37 % 2 = 18 Rest 1
18 % 2 = 9 Rest 0
9 % 2 = 4 Rest 1
4 % 2 = 2 Rest 0
2 % 2 = 1 Rest 0
1 % 2 = 0 Rest 1
75(dez) = 1001011(Dual)
Bsp. 75(dez) zu Hex:
75 % 16 = 4 Rest 11 (B)
4 % 16 = 0 Rest 4
75(dez) = 0x4B
Bsp. 75(dez) zu Oktal:
75 % 8 = 9 Rest 3
9 % 8 = 1 Rest 1
1 % 8 = 0 Rest 1
75(dez) = 0113
gebrochene Zahl
multiplizieren B, nehme Den ganzzahliger Teil als Ziffer, links nach rechts.
Bsp. 0.741(dez) zu Dual:
0.741 x 2 = 1.482 Rund 1
0.482 x 2 = 0.964 Rund 0
0.964 x 2 = 1.928 Rund 1
0.928 x 2 = 1.856 Rund 1
0.856 x 2 = 1.712 Rund 1
0.712 x 2 = 1.424 Rund 1
0.424 x 2 = 0.848 Rund 0
0.848 x 2 = 1.696 Rund 1
0.696 x 2 = 1.392 Rund 1
...
...
...
usw.
0.741(dez) = 0.101111011...(Dual)
Bsp. 0.742(dez) zu Hex:
0.742 x 16 = 11.872 Rund 11 (B)
0.872 x 16 = 13.952 Rund 13 (D)
0.952 x 16 = 15.232 Rund 15 (F)
0.232 x 16 = 3.712 Rund 3
...
...
usw.
0.742(dez) = 0.BDF3...(hex)
# Dual, Oktal und Hex
- Jede 3 Ziffern Dual = 1 Ziffer Okt
- Jede 4 Ziffern Dual = 1 Ziffer Hex
| Bin | Oct | Dec | Hex |
|---|---|---|---|
| 0000 | 000 | 0 | 0x0 |
| 0001 | 001 | 1 | 0x1 |
| 0010 | 002 | 2 | 0x2 |
| 0011 | 003 | 3 | 0x3 |
| 0100 | 004 | 4 | 0x4 |
| 0101 | 005 | 5 | 0x5 |
| 0110 | 006 | 6 | 0x6 |
| 0111 | 007 | 7 | 0x7 |
| 1000 | 010 | 8 | 0x8 |
| 1001 | 011 | 9 | 0x9 |
| 1010 | 012 | 10 | 0xA |
| 1011 | 013 | 11 | 0xB |
| 1100 | 014 | 12 | 0xC |
| 1101 | 015 | 13 | 0xD |
| 1110 | 018 | 14 | 0xE |
| 1111 | 017 | 15 | 0xF |
z.B.1001110.1001101(Dual) Zu Okt und Hex
Zusatz Null Zusatz Null
| |
0 1 0 0 1 1 1 0 . 1 0 0 1 1 0 1 0
------- ------- ------- -------
8 E . 9 A
1001110.1001101(Dual) = 8E.9A (Hex)
Zusatz Null Zusatz Null
| | | |
0 0 1 0 0 1 1 1 0 . 1 0 0 1 1 0 1 0 0
----- ----- ----- ----- ----- -----
1 1 6 . 4 6 4
1001110.1001101(Dual) = 116.464(Okt)
z.B. F1A3.B5(hex) zu Dual und Okt
F 1 A 3 . B 5
---- ---- ---- ---- ---- ----
1111 0001 1010 0011 . 1011 0101
F1A3.B5(hex) = 1111000110100011.10110101(dual)
001 111 000 110 100 011 . 101 101 010
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
1 7 0 6 4 3 . 5 5 2
F1A3.B5(hex) = 170643.552(okt)
# Genauigkeit
Wie viele Stellen nach denm Komma sollten berechnet bei der Konvertierung?
Für jeden Dezimal Ziffer gibt es 10 möglichkeiten, d.h. $log_2{10}$ bits informationen. Deshalb bedeutet einer Dez-Ziffer ungefähr 3.322 Ziffern Binär.
z.B. bei Konvertierung von 35,274729(dez) in Dualsystem.
Es gibt 6 Stellen nach dem Komma.
$$ log_{2}{10^6} = 6log_2{10} \approx 19.932 $$d.h. mindestens sind 20 Stellen (nach dem Komma) zu rechnen, um die Genauigkeit der Wertangabe zu erhalten.
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