Positional notations, Conversation and Precision.

Notizen auf Vorlesung [RA]

Stellenwertsystemen, Begriffe und Schreibweise

$B$ : Basis des Stellenwertsystems, oft auch Radix $r$ genannt

$Z=z_{n-1}…z_{1}z_{0},z_{-1}…z_{-m}$ :

• eine Zahl wird als Vektor von Ziffern dargestellt
• eine Komma markiert ggf. die Einer-Stelle

$z_i$ eine Ziffer, in konventionellen Stellenwertsystemen gilt: $z_i \in [0,B)$

Der Zahlenwert berechnet sich zu:

$Z = \sum_{i=-m}^{n-1}B^i\cdot z_i$

Konvertierungen

Dual, Oktal, Hexadezimal —> Dezimal

Konvertierung mit Zahlenwertberechnung

$Z = \sum_{i=-m}^{n-1}B^i\cdot z_i$

Bsp.

$AFF.1B_{16} = 10\cdot 16^2 + 15\cdot 16^1 + 15\cdot 16^0 + 1\cdot 16^{-1} + 11\cdot 16^{-2}$

$1001.0110_2 = 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3}=(8+1+0.25+0.125)_{10}$

Dezimal —> Dual, Oktal, Hexadezimal

ganzzahliger Teil

teilen durch B, nehme den Rest als Ziffer, rechts nach links.

Bsp. 75(dez) zu Dual

75 % 2 = 37 Rest 1
37 % 2 = 18 Rest 1
18 % 2 = 9  Rest 0
9  % 2 = 4  Rest 1
4  % 2 = 2  Rest 0
2  % 2 = 1  Rest 0
1  % 2 = 0  Rest 1

75(dez) = 1001011(Dual)

Bsp. 75(dez) zu Hex:

75 % 16 = 4 Rest 11 (B)
4 % 16 = 0 Rest 4

75(dez) = 0x4B

Bsp. 75(dez) zu Oktal:

75 % 8 = 9 Rest 3
9  % 8 = 1 Rest 1
1  % 8 = 0 Rest 1

75(dez) = 0113

gebrochene Zahl

multiplizieren B, nehme Den ganzzahliger Teil als Ziffer, links nach rechts.

Bsp. 0.741(dez) zu Dual:

0.741 x 2 = 1.482  Rund 1
0.482 x 2 = 0.964  Rund 0
0.964 x 2 = 1.928  Rund 1
0.928 x 2 = 1.856  Rund 1
0.856 x 2 = 1.712  Rund 1
0.712 x 2 = 1.424  Rund 1
0.424 x 2 = 0.848  Rund 0
0.848 x 2 = 1.696  Rund 1
0.696 x 2 = 1.392  Rund 1
...
...
...
usw.

0.741(dez) = 0.101111011...(Dual)

Bsp. 0.742(dez) zu Hex:

0.742 x 16 = 11.872 Rund 11 (B)
0.872 x 16 = 13.952 Rund 13 (D)
0.952 x 16 = 15.232 Rund 15 (F)
0.232 x 16 = 3.712  Rund 3
...
...
usw.

0.742(dez) = 0.BDF3...(hex)

Dual, Oktal und Hex

• Jede 3 Ziffern Dual = 1 Ziffer Okt
• Jede 4 Ziffern Dual = 1 Ziffer Hex

z.B.1001110.1001101(Dual) Zu Okt und Hex

Zusatz Null               Zusatz Null
|                                 |
0 1 0 0  1 1 1 0 . 1 0 0 1  1 0 1 0
-------  -------   -------  -------
8        E       . 9        A


1001110.1001101(Dual) = 8E.9A (Hex)


Zusatz Null                   Zusatz Null
| |                                   | |
0 0 1  0 0 1  1 1 0 . 1 0 0  1 1 0  1 0 0
-----  -----  -----   -----  -----  -----
1      1      6     . 4      6      4

1001110.1001101(Dual) = 116.464(Okt)

z.B. F1A3.B5(hex) zu Dual und Okt

F    1    A    3    . B    5
---- ---- ---- ----   ---- ----
1111 0001 1010 0011 . 1011 0101

F1A3.B5(hex) = 1111000110100011.10110101(dual)


001 111 000 110 100 011 . 101 101 010
--- --- --- --- --- ---   --- --- ---
1   7   0   6   4   3   . 5   5   2

F1A3.B5(hex) = 170643.552(okt)

Genauigkeit

Wie viele Stellen nach denm Komma sollten berechnet bei der Konvertierung?

Für jeden Dezimal Ziffer gibt es 10 möglichkeiten, d.h. $log_2{10}$ bits informationen. Deshalb bedeutet einer Dez-Ziffer ungefähr 3.322 Ziffern Binär.

z.B. bei Konvertierung von 35,274729(dez) in Dualsystem.

Es gibt 6 Stellen nach dem Komma.

$$ log_{2}{10^6} = 6log_2{10} \approx 19.932 $$

d.h. mindestens sind 20 Stellen (nach dem Komma) zu rechnen, um die Genauigkeit der Wertangabe zu erhalten.