Vektorraum, Untervektorraum und Spannraum

Notizen - Lineare ALgebra
Vorlesung von Prof.Dr.Ulrike Baumann

Def. Vektorraum (VR)

Sei $K$ ein Körper
Ein K-Vektorraum $(V; +, (k|k\in K))$ besteht aus

• einer nichtleere Menge $V$
• einer Addition $+: V+V \to V$
• einer Skalarmutiplikation $(k|k\in K): k\times V \to V$

mit dem Eigenschaften V1 bis V10

(Vektorraum-Axiome)

(V1) Für je zwei Elemente $v_1, v_2 \in V$ ist $v_1 + v_2$ ein eindeutig bestimmtes Element von $v$

(V2) Es gilt $v_1 + (v_2 + v_3)=(v_1+v_2+ v_3)$ für alle $v_1, v_2, v_3 \in V$ (assoziativ)

(V3) Es gilt $v_1+v_2=v_2+v_1$ für alle $v_1,v_2 \in V$ (kommutativ)

(V4) Es gibt ein Element $0 \in V$(Nullvektor) mit $0+v = v+0=v$ für alle $v\in V$

(V5) Es gibt zu jedem $v \in V$ ein Element $-v\in V$ mit $v+(-v)=(-v)+v=0$

(V6) Für jedes $k \in K$ und jedes $v \in V$ ist $kv$ ein eindeutig bestimmtes Element von $V$

(V7) Es gilt $1v=v$ für alle $v \in V$

(V8) Es gilt $(k_1k_2)v = k_1(k_2v)$ für alle $k_1,k_2 \in K und v \in V$

(V9) Es gilt $(k_1+k_2)v = k_1v + k_2v$ für alle $k_1,k_2 \in K und v \in V$

(V10) Es gilt $k(v1+v2) = kv_1+kv_2$ für alle $k \in K$ und $v_1, v_2 \in V$

Rechenregeln Für VR
(R1) $kv=0_v \iff k=0_K$ oder $v=0_v$
(R2) $(-k)v = -kv$ für alle $k\in K, v\in V$ , insbesondere gilt $(-1)v = -v$

Def. Untervektorraum (UVR)
Sei $V$ ein $K$-VR und $U\in V$. $U$ heißt Untervektorraum (UVR) von V wenn gilt:
(1) $0\in U$
(2) $a,b \in U \implies a+b \in U$ für alle $a,b \in U$ ($U$ ist abgeschlossen bzgl. $+$)
(3) $a \in U, k\in K \implies ka \in U$ für alle $a \in U, k\in K$ ($U$ ist abgeschlossen bzgl. Skalarmutiplikation)

Satz. seien $U_1, U_2$ UVR von $V$, dann ist auch $U_1 \bigcap U_2$ UVP von $V$

Def. Spannraum

Sei $V$ ein VR und $T\in V$, den kleinsten UVR $U$ von $V$ mit $T\in U$ nennt man den Spannraum $span(T)$ von $T$, Scireibweise $span(T)=\langle T \rangle$

Trivial:

$span(V)=\langle V \rangle =V$
$span(\text{\O}) = \langle \text{\O} \rangle = \lbrace 0_V \rbrace$

Bsp.
$\space span(\lbrace(-2,-4),(1,2),(2,4)\rbrace)$
$=\langle \lbrace(-2,-4),(1,2),(2,4)\rbrace \rangle$
$=\lbrace(t,2t)| t\in \Reals \rbrace$